Question

已知抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点．
（1）求•的值；
（2）设=λ•，求△ABO的面积S的最小值；
（3）在（2）的条件下若S≤，求λ的取值范围．

Answer

（1）可设l的方程x=my+1，将其与C的方程联立，消去x可得y2-4my-4=0．设A、B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞0＞y2），由根与系数关系可得x1x2和y1y2的值，代入数量积公式可得； （2）由=λ•，计算可得y2=-，y1=2，代入可得S=|OF|•|y1-y2|=，由基本不等式可得；（3）可得 ≤解之即可．
【解析】
（1）根据抛物线的方程可得焦点F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，
将其与C的方程联立，消去x可得y2-4my-4=0．
设A、B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞0＞y2），则y1y2=-4．
因为=4x1，=4x2，所以x1x2==1，
故•=x1x2+y1y2=-3    …（4分）
（2）因为=λ•，所以（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），
即  1-x1=λx2-λ①-y1=λy2②
又=4x1  ③，=4x2，④，由②③④消去y1，y2后，得到x1=λ2x2，将其代入①，
注意到λ＞0，解得x2=．从而可得y2=-，y1=2，故△OAB的面积S=|OF|•|y1-y2|=
因为≧2恒成立，故△OAB的面积S的最小值是2…（8分）．
（3）由 ≤解之得≤λ≤  …（12分）