Question

已知函数f（x）=x³-3a²x+1
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）已知a＞0，若∀x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）将a=1代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析导函数的符号后，可得函数f（x）的单调区间；
（2）若∀x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．则∀x∈[1，2]，恒有，构造函数，利用导数法求出其最小值，可得实数a的取值范围．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x3-3x+1
f'（x）=3x2-3
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞1，
由f'（x）＜0得-1＜x＜1
故f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间是（-1，1）
（2）由题∀x∈[1，2]，恒有x3-3a2x+1≥0⇒∀x∈[1，2]，恒有
令，
当x∈[1，2]时，h'（x）＞0
∴h（x）在[1，2]上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=2
故3a2≤2
又a＞0
∴