Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+3的单调递减区间为，单调递增区间为和（1，+∞）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若t∈R，试讨论关于x的方程f（x）=2x²+8x+t的实数根的个数．

Answer

（1）由题设得f'（x）=0的根为或x=1，由此求得a=b=-1；
（2）令g（x）=f（x）-（2x2+8x+t），利用导数求出函数g（x）的极大值与极小值，对参数t分类讨论，即可得到函数的零点个数亦即方程的根的个数．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax+b
由题设得f'（x）=0的根为或x=1
由此求得a=b=-1
故f（x）=x3-x2-x+3
（2）g（x）=f（x）-（2x2+8x+t）=x3-3x2-9x+3-t
令g'（x）=3x2-6x-9=0，得x=-1或x=3

x （-∞，-1） -1 （-1，3） 3 （3，+∞）
g'（x） + - +
g（x） 增 极大值 减 极小值 增

g（x）极大值=g（-1）=8-t，g（x）极小值=g（3）=-24-t
∴当8-t＜0，即t＞8时，原方程有一个实数根；
当8-t=0，即t=8时，原方程有两个实数根；
即-24＜t＜8时，原方程有三个实数根；
当-24-t=0，即t=-24时，原方程有两个实数根；
当-24-t＞0，即t＜-24时，原方程有一个实数根．
综上，当t=-24或t=8时，原方程有两个实数根；
当t＜-24或t＞8时，原方程有两个实数根；
当-24＜t＜8时，原方程有三个实数根．