Question

已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），若与的夹角为60°，则直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）²+（y+sinβ）²=1的位置关系是（ ）
A．相交但不过圆心
B．相交且过圆心
C．相切
D．相离

Answer

由已知利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=，要判断直线xcosα-ysinα+1=0与圆的位置关系，只要判断圆心（cosβ，-sinβ）到直线xcosα-ysinα+1=0的距离d=|cosαcosβ+sinαsinβ+1|与圆的半径的比较即可
【解析】
由题意可得||=2，，==2×3×=3
又=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3，
∴cosαcosβ+sinαsinβ=，
圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1的圆心坐标为（cosβ，-sinβ），半径为1；
∵圆心（cosβ，-sinβ）到直线2xcosα-2ysinα+1=0的距离
d===1；
∴直线2xcosα-2ysinα+1=0与圆（x-cosβ）2+（y+sinβ）2=1相切，
故选C．