Question

在等比数列{a_n}中，已知a₁＞1，公比q＞0．设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁•b₃•b₅=0．
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与a_n的大小．

Answer

（I）由等比数列的通项公式，结合bn=log2an化简b1•b3•b5=0得a5=1且b5=0，代入b1+b3+b5=6得log2a1a3=6，由此算出a2=8，解出，即可得出{an}、{bn}的通项公式；
（II）由（I）的结论得bn=5-n，从而，再由n的取值进行分类讨论，最后综合可得当n=1或n=2或n≥9时，Sn＜an；当n=3、4、5、6、7、8时，Sn＞an成立．
【解析】
（Ⅰ）依题意，，
∵a1＞1，q＞0，∴数列{an}是单调数列，
∵b1+b3+b5=log2a33=6，
∴a33=26，得a3=4
又∵bn=log2an，b1•b3•b5=0及a1＞1
∴b5=0，可得a5=1．
因此=1，即q2=，解之得（舍负）．
∴，bn=log2an=5-n．…6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=5-n，．
①当n≥9时，Sn≤0，an＞0，此时Sn＜an；
②当n=1时，Sn=4且an=16；当n=2时，Sn=7且an=8．此时Sn＜an；
③当n=3、4、5、6、7、8时，an=4、2、1、、、．此时Sn＞an
综上所述，当n=1或n=2或n≥9时，Sn＜an；当n=3、4、5、6、7、8时，Sn＞an．…13′