Question

设x₁、x₂∈R，规定运算“*”：x₁*x₂=（x₁+x₂）²+（x₁-x₂）²．
（Ⅰ）若x≥0，a＞0，求动点P（x，）的轨迹c；
（Ⅱ）设P（x，y）是平面内任意一点，定义：d₁（p）=，d₂（p）=，问在（Ⅰ）中的轨迹c上是否存在两点A₁、A₂，使之满足d₁（A_i）=）（i=1、2），若存在，求出a的范围．

Answer

（I）由题中“*”运算的定义，得动点P（x，）满足，得y2=2（a2+x2），化简即得所求轨迹c是焦点在y轴上的双曲线，在第一象限内的一部分；
（II）根据题意，化简得且d2（p）=|x-a|，假设存在两点A1、A2满足题设的条件，y2=2（a2+x2）消去y得关于x的一元二次方程：（3-a）x2+2a2x+2a2-a3=0，此方程有两个非负的实数根．由此结合根的判别式与韦达定理，建立关于a的不等式组并解之，即可得到实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵
∴当x≥0时，设P（x，y），则，
∴y2=2（a2+x2）（y＞0）化简得（x≥0，y＞0），
所求轨迹c是实半轴长为、虚半轴长为a，焦点在y轴上的双曲线，
在第一象限内的一部分（包括上顶点）…6′
（Ⅱ），．
假设存在两点A1、A2，使得（i=1、2），即．
∴x2+y2=a•（x-a）2，
又∵y2=2（a2+x2），∴x2+2（a2+x2）=a•（x-a）2，
即（3-a）x2+2a2x+2a2-a3=0有两非负实数根．…10′
∴
故当a＞3时，存在适合条件的两点．…13′．