Question

已知函数f（x）的定义域为R，若∃常数c＞0，对∀x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则称函数f（x）具有性质P．给定下列三个函数：
①f（x）=|x|；
②f（x）=sinx；
③f（x）=x³-x．
其中，具有性质P的函数的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．①
D．③

Answer

根据新定义可知，要使∀x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则说明函数必须是单调递增函数，利用函数的单调性结合定义分别去判断．
【解析】
因为c＞0，所以x+c＞x-c，所以要使∀x∈R，有f（x+c）＞f（x-c），则函数在定义域上必须是单调递增函数．
①因为f（x）=|x|在定义域R上的不是单调增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）不具有具有性质P．
②因为f（x）=sinx的最小正周期为2π，在定义域R上的不是单调增函数，所以不满足f（x+c）＞f（x-c），故此函数f（x）不具有性质P．
③因为f（x）=x3-x，所以f′（x）=3x2-1，当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，f′（x）＜0时，函数f（x）是递减函数．
即在（）内递减，要想满足f（x+c）＞f（x-c），只须c＞ 就可以了，不妨取c=1，．
所以，存在常数c=1，满足f（x+c）＞f（x-c）．故此函数f（x）具有性质P．
故选D．