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已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=2f(x+2),且f(x)在区间[0,...

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=2f(x+2),且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).
(Ⅰ)求f(-1),f(2.5)的值;
(Ⅱ)写出f(x)在[-3,3]上的表达式.
(Ⅰ)由f(x)=2f(x+2),得f(-1)=2f(1),代入已知表达式可得f(-1);由f(0.5)=2f(2.5)得f(2.5)=f(0.5),由此可得f(2.5); (Ⅱ)由函数f(x)对任意实数x均有f(x)=2f(x+2),得f(x-2)=2f(x),f(x)=f(x-2),利用该式可分别求出-2≤x<0;-3≤x<-2;2<x≤3时f(x). 【解析】 (Ⅰ)因为f(-1)=2f(1)=2(1-2)=-2, 所以f(-1)=-2. 因为f(0.5)=2f(2.5), 所以f(2.5)=f(0.5)=••(-2)=-. (Ⅱ)因为函数f(x)对任意实数x均有f(x)=2f(x+2), 所以f(x-2)=2f(x),f(x)=f(x-2). 当-2≤x<0时,0≤x+2<2, f(x)=2f(x+2)=2x(x+2); 当-3≤x<-2时,-1≤x+2<0, f(x)=2f(x+2)=4(x+2)(x+4); 当2<x≤3时,0<x-2≤1, f(x)=f(x-2)=(x-2)(x-4); 故f(x)=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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