Question

F₁，F₂为椭圆左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F₂向∠F₁AF₂的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是x²+y²=a²．类比可得：F₁，F₂为双曲线左、右焦点，A为双曲线上任意一点，过焦点F₂向∠F₁AF₂的    平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是    ．

Answer

延长F1D、AF2交于点C，由等腰三角形的“三线合一”证出△F1AF2是以F1C为底的等腰三角形，D为F1C的中点．利用三角形中位线定理证出|OD|=|F2C|，再由|AC|=|F1A|和双曲线的定义得到|F2C|=|AC|-|F2A|=|F1A|-|F2A|=2a，可得|OD|=a，从而得到点D的轨迹是以0为圆心半径为a的圆，由此可得本题答案．
【解析】
当点A在双曲线的右支时，如图所示
延长F1D、AF2，交于点C
∵AD是△F1AC的角平分线，也是高线
∴△F1AF2是以F1C为底的等腰三角形
D为F1C的中点，可得OD是△F1CF2的中位线
由此可得|OD|=|F2C|
∵△F1AF2中，|AC|=|F1A|
∴|F2C|=|AC|-|F2A|=|F1A|-|F2A|
由双曲线的定义，得|F1A|-|F2A|=2a，可得|OD|=|F2C|=a
同理可证：点A在双曲线的左支时，也有|OD|=a
因此，点D到原点0的距离为常数a，得点D的轨迹是以0为圆心半径为a的圆
即焦点F2向∠F1AF2的内角平分线作垂线，垂足D的轨迹方程为x2+y2=a2
故答案为：内角   x2+y2=a2