Question

如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，，E为CC₁的中点，AC∩BD=O．
（Ⅰ） 证明：OE∥平面ABC₁；
（Ⅱ）证明：A₁C⊥平面BDE．

Answer

（Ⅰ） 证明OE∥AC1，然后利用直线与平面平行的判定定理证明OE∥平面ABC1；
（Ⅱ）连接A1C1，证明A1C⊥AC1，A1C⊥OE，证明BD⊥平面A1C，然后证明A1C⊥平面BDE．
【解析】
（1）证明：因为EC1=EC，AO=OC．所以OE∥AC1．
因为AC1⊂平面ABC1，OE⊄平面ABC1，所以OE∥平面ABC1；
（Ⅱ）连接A1C1，因为AB=a所以A1C1=a．
所以四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1，
因为OE∥AC1．
所以A1C⊥OE，
又因为BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A
所以BD⊥平面AA1C，所以BD⊥A1C，
又因为OE∩BD=O，所以A1C⊥平面BDE．