Question

如图，直线y=kx+2k（k≠0）与x轴交于点B，与双曲线y=（m+5）x^2m+1交于点A、C，其中点A在第一象限，点C在第三象限．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）若S_△AOB=2，求A点的坐标；
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用双曲线的定义（k≠0）即可得出；
（2）由直线y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x即可；
（3）联立，解得点A的坐标，再利用2=，解得k即可；
（4）存在，设P（x，0）．分类讨论：①若|OA|=|OP|，②若|AO|=|AP|，③若|PA|=|PO|，再利用两点间的距离公式即可得出．
【解析】
（1）由双曲线y=（m+5）x2m+1，利用双曲线的解析式和图象可得，解得m=-1，
∴双曲线的方程为．
（2）由直线y=kx+2k（k≠0），令y=0，解得x=-2，∴B点坐标（-2，0）；
（3）联立，解得，（∵xA＞0），∴，
∴2=，即，解得k=，
∴xA=2，yA=2，∴A（2，2）．
（4）存在，设P（x，0）．
①若|OA|=|OP|，则，解得x=；
②若|AO|=|AP|，则，解得x=4，或x=0（舍去）；
③若|PA|=|PO|，则，解得x=2．
综上可知：点P的坐标为以下四个，
（，（-2，（2，0），（4，0）．