Question

如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1
（1）求证：CE∥面ABF；
（2）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值为，求AB的长．

Answer

（1）由矩形的对边平行，结合已知及面面平行的第二判定定理，可得面ABF∥面CDE，进而由面面平行的性质得到CE∥面ABF
（2）设AB=x，以F为原点，AF，EF所有直线分别为x，y轴建立空间坐标系，分别求出平面ABF和平面BFD的法向量，结合二面角A-BF-D的平面角的余弦值为，构造关于x的方程，解方程可得AB的长．
证明：（1）∵ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
又∵AF∥DE，AB，AF⊂面ABF，AB∩AF=A，CD，DE⊂面CDE
∴面ABF∥面CDE
又∵CE⊂面CDE
∴CE∥面ABF；
（2）设AB=x，以F为原点，AF，EF所有直线分别为x，y轴建立空间坐标系，
∵AF=AD=2，DE=1
则F（0，0，0），A（-2，0，0），D（-1，，0），B（-2，0，x）
∴=（1，-，0），=（2，0，-x）
∵EF⊥平面ABF，
∴=（0，1，0）为平面ABF的一个法向量
设=（a，b，c）为平面BFD的一个法向量，则
，即
令b=1，则=（，1，）
∵cos＜，＞=
解得x=
∴AB=