Question

设抛物线C：x²=2py（p＞0），F为焦点，抛物线C上一点P（m，3）到焦点的距离是4，抛物线C的准线l与y轴的交点为H
（1）求抛物线C的方程；
（2）设M是抛物线C上一点，E（0，4），延长ME、MF分别交抛物线C于点A、B，若A、B、H三点共线，求点M的坐标．

Answer

（1）由抛物线的定义，结合P到焦点的距离为4建立关于p的方程，解出p=2即得抛物线C方程；
（2）设M（t，），由点斜式可写出直线MF、ME的方程，分别与抛物线方程联立可解出点B、点A的坐标，根据A、B、H三点共线，得kAH=kBH，由此可解出t值；
【解析】
（1）由题意得抛物线C的准线l方程为：y=-，
因为抛物线C上的点P（m，3）到焦点的距离是4，得3-（）=4，解得P=2
所以抛物线方程为：x2=4y．
（2）设M（t，），又直线过点F（0，1），则直线MF方程为y-1=，
过点E（0，4）直线ME方程为y-4=x，
由，得B（，），
由，得A（-，），
则kAH==，kBH==，
∵A、B、H三点共线，∴kAH=kBH，即=解得t=±4，
∴M点的坐标为（±4，4）．