Question

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知cosC=-．
（Ⅰ）求sin的值；
（Ⅱ）若ab=6，且sin²A+sin²B=sin²C，求a，b，c的值．

Answer

（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式化简cosC，根据C为钝角得到为锐角，开方即可求sin的值；
（Ⅱ）已知第二个等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理列出关系式，联立表示出c2，将ab的值代入计算求出c与a2+b2的值，即可确定出a，b及c的值．
【解析】
（Ⅰ）∵cosC=1-2sin2，cosC=-＜0，
∴sin2===，
∵C为钝角，∴为锐角，
则sin=；
（Ⅱ）∵sin2A+sin2B=sin2C，
∴由正弦定理得：a2+b2=c2①
又由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即a2+b2=c2-ab②
由①、②得c2=ab，
∵ab=6，
∴c=4，a2+b2=13，
解得：或，
∴a、b、c的值a=2，b=3，c=4或a=3，b=2，c=4．