Question

已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．
（Ⅰ）求证：（）（x+y）≥（a+b）²，并指出“=”成立的条件；
（Ⅱ）求函数f（x）=（0＜x＜）的最小值，并指出取最小值时x的值．

Answer

（I）先将（）（x+y）=a2+++b2=a2+b2+（+），利用基本不等式a2+b2≥2ab，即可证得结论；
（II）利用（I）的结论，将函数f（x）=变形为f（x）═（）（3x2+1-3x2）
即可解决问题．
【解析】
（Ⅰ）∵（）（x+y）=a2+++b2=a2+b2+（+）
≥a2+b2+2=a2+b2+ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．

（II）∵f（x）===（）（3x2+1-3x2）
由（I）知，上式≥（3+3）2=36，当且仅当3x2=1-3x2即x2=时等号成立，
∴函数f（x）=（0＜x＜）的最小值36，取最小值时x的值为．