Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2，记b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）求b₁，并证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）由Sn+1=4an+2得，当n≥2时，有Sn=4an-1+2，两式相减得出an+1=4an-4an-1，移向an+1-2an=2（an-2an-1），可证{bn}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=3•2n-1，an+1-2an=3•2n-1，两边同除以2n，构造出，数列{}是首项，公差为的等差数列．通过数列{}的通项求出{an}的通项公式．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=1，Sn+1=4an+2，
∴S2=4a1+2=a1+a2，a2=5，
∴b1=a2-2a1．=3，
另外，由Sn+1=4an+2得，当n≥2时，有Sn=4an-1+2，
∴Sn+1-Sn=（4an+2）-（4an-1+2），
即an+1=4an-4an-1，an+1-2an=2（an-2an-1），n≥2
又∵bn=an+1-2an．∴bn=2bn-1．
∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=3•2n-1，
  an+1-2an=3•2n-1，
∴-=，数列{}是首项，公差为的等差数列．
=+（n-1）×=n-
an=（3n-1）•2n-2