Question

设函数f（x）=px²+qx-是奇函数，其中p，q是常数，且q≠0．
（Ⅰ）求P的值；
（Ⅱ）若q＜0，求f（x-1）的单调区间；
（Ⅲ）求f（sinx+cosx）在x∈[0，]上的最大值与最小值．（用q表示）

Answer

（Ⅰ）由于函数在R上的奇函数，根据奇函数性质即可解出p值；
（Ⅱ）求导函数f′（x），得到函数的单调区间，又由复合函数的单调性，即可得到f（x-1）的单调区间；
（Ⅲ）利用导数求区间上的最值，要先求函数的极值点，再与端点值比较大小即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
即px2-qx+=-（px2+qx-） 
得2px2=0对任意x≠0恒成立 
∴p=0                                              
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=qx-（q≠0）
∵                                  
∴当q＜0时，f′（x）＜0，
∴当q＜0时，f（x）在定义域内是减函数                
又∵t=x-1，当x≠1时，t在（-∞，1），（1，+∞）上递增            
∴当q＜0时，f（x-1）单调递减，减区间为（-∞，1），和（1，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：
当q＜0时，函数f（x）在定义域内是减函数
当q＞0时，函数f（x）在定义域内是增函数            
∵，         
∴sinx+cosx在x∈[0，]上有1≤sinx+cosx
∴当q＜0时，f（sinx+cosx）的最大值为f（1）=0，最小值为
当q＞0时，f（sinx+cosx）的最大值为，最小值为f（1）=0