Question

设函数f（x）=x³+mx²+nx+p在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个实根x₁，2，x₂．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）试比较f（1）与2的大小，并说明理由；
（Ⅲ）求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数可知x=0时函数取到极大值即在导函数中自变量取零时函数值也取零得到n的值即可；
（Ⅱ）首先将f（1）化成关于m的式子，求出导函数的驻点根据增减性确定m的范围，便可得到f（1）=-7-3m≥2；
（Ⅲ）由条件可得：f（x）=（x-x1）（x-2）（x-x2）=x3+mx2+p，
得到，进而得到|x1-x2|=（m≤-3），所以|x1-x2|≥3．．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）取到极大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x3+mx2+p
∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=-
∵函数f（x）在[0，2]上是减函数，
∴x2=-≥2
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．
（Ⅲ）由条件可得：f（x）=（x-x1）（x-2）（x-x2）                    
∴f（x）=x3-（2+x1+x2）x2+（2x1+2x2+x1x2）x-2x1x2．                       
∴，即，
∴==（m≤-3），
∴|x1-x2|≥3．