Question

已知函数f（x）=2x³-3（k+1）x²+1（x∈R）
（1）若该函数在x=-1处取得极值，求实数k的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer

（1）若该函数在x=-1处取得极值，则f′（-1）=0，代入可得k值；
（2）根据（1）中的导函数，分k=-1，k＜-1和k＞-1三种情况分别讨论导函数的符号，进而根据导函数符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调区间；
（3）结合（2）中函数的单调性，分k=-1，k＜-1，-1＜k＜0和k≥0四种情况讨论函数的最值．
【解析】
（1）∵f（x）=2x3-3（k+1）x2+1
∴f′（x）=6x2-6（k+1）x
∵该函数在x=-1处取得极值，
∴f′（-1）=6+6（k+1）=0
解得：k=-2
（2）①当k=-1时，f′（x）=6x2≥0恒成立，f（x）在R上是增函数；
②当k＜-1时，当x∈（-∞，k+1）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（k+1，0）时，f′（x）＜0
故此时，f（x）的单调增区间为（-∞，k+1），（0，+∞）
单调减区间为（k+1，0）
③当k＞-1时，当x∈（-∞，0）∪（k+1，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（0，k+1）时，f′（x）＜0
故此时，f（x）的单调增区间为（-∞，0），（k+1，+∞）
单调减区间为（0，k+1）
（3）由（2）中结论可得：
①当k=-1时，fmin（x）=f（0）=1；
②当k＜-1时，fmin（x）=f（0）=1
③当-1＜k＜0时，fmin（x）=f（k+1）=-（k+1）3+1
④当k≥0时，fmin（x）=f（1）=-3k