Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据b2+S2=12，{bn}的公比，建立方程组，即可求出an与bn；
（2）由an=3n，bn=3n-1，知cn=an•bn=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）∵在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，
等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．
∴b2=b1q=q，，（3分）
解方程组得，q=3或q=-4（舍去），a2=6（5分）
∴an=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1．（7分）
（2）∵an=3n，bn=3n-1，
∴cn=an•bn=n•3n，
∴数列{cn}的前n项和
Tn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，
∴3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，
∴-2Tn=3+32+33+…+3n-n×3n+1
=-n×3n+1
=-n×3n+1，
∴Tn=×3n+1-．