Question

已知f（x）=xlnx，．
（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．

Answer

（1）当a=2时，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函数的性质求出它的值域．
（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）的最小值．
（3）令 h（x）==-，通过 h′（x）= 的符号研究h（x）的单调性，求出h（x）的最大值为h（1）=-．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为-，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 ．
【解析】
（1）当a=2时，g（x）=，x∈[0，3]，
当x=1时，；当x=3时，，
故g（x）值域为．
（2）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．                                   
①若 ，t无解；                       
②若 ，即时，；     
③若 ，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，
所以 f（x）min=．        
（3）证明：令 h（x）==-，h′（x）=，
当 0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时． h′（x）＜0，h（x）是减函数，
故h（x） 在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-．
而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为-，
且当h（x） 在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，
故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即 ．