Question

已知函数f（x）=sin（x+）+，若将函数f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象
（1）求函数g（x）的解析式
（2）求x为何值时，函数g（x）的值最大且最大值为多少？
（3）求g（x）单调递减区间．

Answer

（1）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可取得函数g（x）的解析式；
（2）由x-=2kπ+（k∈Z）即可求得函数g（x）的值最大时x的取值；
（3）由正弦函数的单调性可知，由2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），即可求得g（x）单调递减区间．
【解析】
（1）∵f（x）=sin（x+）+，
∴f（x-）=sin[（x-）+]+=sin（x-）+；
再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（x-）+；
∴经过题设的变化得到的函数g（x）=sin（x-）+；
（2）由x-=2kπ+（k∈Z）得：x=4kπ+，k∈Z
∴当x=4kπ+，k∈Z时，函数取得最大值；
（3）令2kπ+≤x-≤2kπ+（k∈Z），
得4kπ+≤x≤4kπ+π，k∈Z
∴g（x）单调递减区间为[4kπ+，4kπ+π]，k∈Z．