Question

已知数列a_n，b_n，c_n满足
（1）设c_n=3n+6，a_n是公差为3的等差数列．当b₁=1时，求b₂，b₃的值；
（2）设c_n=n³，a_n=n²-8n求正整数k，使得一切n∈N^*均有b_n≥b_k．

Answer

（1）先确定bn+1-bn=n+2，由b1=1，迭代可得b2，b3的值；
（2）先确定bn+1-bn=，由bn+1-bn＞0，解得n≥4，由bn+1-bn＜0，解得n≤3，由此可得结论．
【解析】
（1）∵cn=3n+6，an是公差为3的等差数列．
则由（an+1-an）（bn+1-bn）=cn可得3（bn+1-bn）=3n+6
即bn+1-bn=n+2
又∵b1=1
∴当n=1时，b2-b1=3，即b2=4
当n=2时，b3-b2=5，即b2=9
（2）∵cn=n3，an=n2-8n
则由（an+1-an）（bn+1-bn）=cn可得{[（n+1）2-8（n+1）]-（n2-8n）}（bn+1-bn）=n3，
∴bn+1-bn=
由bn+1-bn＞0，解得n≥4，即：b4＜b5＜b6＜…
由bn+1-bn＜0，解得n≤3，即：b1＞b2＞b3＞b4
故k=4，使得对一切n∈N*，均有bn≥bk．