Question

已知函数y=f（n）（n∈N^*_）设f（1）=2且任意的n₁，n₂∈N^*，有n₁，n₂∈N^*，f（n₁+n₂）=f（n₁）•f（n₂）
（1）求f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）试猜想f（n）的解析式，并用数学归纳法给出证明．

Answer

直接利用已知条件求出f（2）、f（3）、f（4）的值；
（2）利用（1）猜想f（n）的解析式，然后利用数学归纳法的证明方法证明即可．
【解析】
（1）f（1）=2，f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）
∴f（2）=f（1+1）=f（1）•f（1）=22=4、
f（3）=f（2+1）=f（2）•f（1）=22•2=8、
f（4）=f（3+1）=f（3）•f（1）=23•2=16；
（2）猜想f（n）=2n，n∈N*
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，f（1）=21=2∴猜想正确；…（7分）
②假设当n=k（k≥1）时猜想正确，即f（k）=2k，k∈N*
那么当n=k+1时，f（k+1）=f（k）f（1）=2k•2=2k+1
所以，当n=k+1时，猜想正确
由①②知，对n∈N*，f（n）=2n，正确．…（13分）