Question

设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1），且f（x）的最小值为3，若f（x）≤5，则x的取值范围是     ．

Answer

利用不等式的性质对|x-4|+|x-a|进行放缩，求出其用a表示的最小值，因为f（x）的最小值为3，从而求出a值，把f（x）代入f（x）≤5，然后进行分类讨论求解．
【解析】
∵函数f（x）=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|，
∵f（x）的最小值为3，
∴|a-4|=3，
∴a=1或7，∵a＞1，
∴a=7，
∴f（x）=|x-4|+|x-7|≤5，
①若x≤4，f（x）=4-x+7-x=11-2x≤5，解得x≥3，故3≤x≤4；
②若4＜x＜7，f（x）=x-4+7-x=3，恒成立，故4＜x＜7；
③若x≥7，f（x）=x-4+x-7=2x-11≤5，解得x≤8，故7≤x≤8；
综上3≤x≤8，
故答案为：3≤x≤8．