Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A₁BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值．

Answer

（I）由Rt△ABC中，∠C=90°且DE∥BC，证出A1D⊥DE．结合A1D⊥CD，可得A1D⊥面BCDE，从而得到A1D⊥BC．最后根据线面垂直判定定理，结合BC⊥CD可证出BC⊥面A1DC；
（II）以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系如图所示．可得D、E、B、A1各点的坐标，从而算出、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（2，0，-1）为平面A1BC的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE与平面A1BC所成角的正弦值；
（III）设D（x，0，0），可得A1（x，0，6-x），由此得到，结合二次函数的图象与性质可得当D为AC中点时A1B的长度最小，并且这个最小值为．
【解析】
（Ⅰ）∵在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE，可得A1D⊥DE．
又∵A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．
∵BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．
∵BC⊥CD，CD∩BC=C，∴BC⊥面A1DC．…（4分）
（Ⅱ）以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示． …（5分）
可得D（2，0，0），E（2，2，0），B（0，3，0），A1（2，0，4）．
设=（x，y，z）为平面A1BC的一个法向量，
∵，，∴，
令x=2，得y=0，z=-1．
所以=（2，0，-1）为平面A1BC的一个法向量．      …（7分）
设BE与平面A1BC所成角为θ，则．
所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为．          …（9分）
（Ⅲ）设D（x，0，0），则A1（x，0，6-x），
∴=…（12分）
根据二次函数的图象与性质，可得当x=3时，
A1B的最小值是，由此点D为AC的中点
即D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为．  …（14分）