Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．

Answer

（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-（1-a）x，利用导数求函数的最值，利用最值证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（Ⅲ）利用导数确定函数的取值情况，确定函数y=f（x）零点的个数．
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为，…（1分）
f（1）=-a+1，所以切线斜率k=f'（1）=1-a，所以切线l的方程为
y-（1-a）=（1-a）（x-1），即y=（1-a）x．                 …（3分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，则F'（x）==0，解得x=1．

x （0，1） 1 （1，+∞）
F'（x） + -
F（x） ↗ 最大值 ↘

…（6分）
F（1）＜0，所以∀x＞0且x≠1，F（x）＜0，所以f（x）＜（1-a）x，
即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．        …（8分）
（Ⅲ）令f（x）=lnx-ax+1=0，则a=．
令 g（x）=，则g'（x）=，
则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1．
所以若a＞1，则f（x）无零点；若f（x）有零点，则a≤1．…（10分）
若a=1，f（x）=lnx-ax+1=0，由（Ⅰ）知f（x）有且仅有一个零点x=1．
若a≤0，f（x）=lnx-ax+1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f（x）有且仅有一个零点（或：直线y=ax-1与曲线y=lnx有一个交点）．
若0＜a＜1，解f'（x）=，得x=，由函数的单调性得知f（x）在x=处取最大值，f（）=ln，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f（x）＜0，即f（x）在单调递减区间（，+∞）有且仅有一个零点；又因为f（=-，
所以f（x）在单调递增区间（0，）有且仅有一个零点．
综上所述，当a＞1时，f（x）无零点；
当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；
当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．…（13分）