Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．

Answer

（Ⅰ）由椭圆的离心率，椭圆经过点M和隐含条件a2=b2+c2联立解方程组可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直接把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0即可求得m的取值范围；
（Ⅲ）设出两直线斜率，把两直线的斜率和转化为直线与椭圆的两个交点的坐标之间的关系，利用根与系数关系代入化简整理即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，
所以a2=4b2，
又因为M（4，1）在椭圆上，所以，两式联立解得b2=5，a2=20，
故椭圆方程为；
（Ⅱ）将y=x+m代入并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，
△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，解得-5＜m＜5；
（Ⅲ）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，．      
．
分子=（x1+m-1）（x2-4）+（x2+m-1）（x1-4）
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）-8（m-1）
=．
所以直线MA、MB的斜率互为相反数．