Question

定义：如果数列{a_n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a_n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a_n}，如果函数y=f（x）使得b_n=f（a_n）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{a_n}的“保三角形函数”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=k^x（k＞1）是数列{a_n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列{c_n}的首项为2013，S_n是数列{c_n}的前n项和，且满足4S_n+1-3S_n=8052，证明{c_n}是“三角形”数列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中数列{c_n}的“保三角形函数”，问数列{c_n}最多有多少项？
（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）

Answer

（Ⅰ）确定{an}是三角形数列，再利用函数的单调性，可得不等式，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）求得数列{cn}的通项，再利用定义进行证明即可；
（Ⅲ）确定{g（cn）}单调递减，利用定义可得不等式且lgcn-1+lgcn＞lgcn-2，由此可得n的范围，从而可得结论．
（Ⅰ）【解析】
显然an=n+1，an+an+1＞an+2对任意正整数都成立，即{an}是三角形数列．
因为k＞1，显然有f（an）＜f（an+1）＜f（an+2）＜…，
由f（an）+f（an+1）＞f（an+2）得kn+kn+1＞kn+2
解得．
所以当时，f（x）=kx是数列{an}的保三角形函数．…（3分）
（Ⅱ）证明：由4sn+1-3sn=8052，得4sn-3sn-1=8052，
两式相减得4cn+1-3cn=0，所以…（5分）
经检验，此通项公式满足4sn+1-3sn=8052．
显然cn＞cn+1＞cn+2，
因为，
所以{cn}是三角形数列．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
，
所以{g（cn）}单调递减．
由题意知，①且lgcn-1+lgcn＞lgcn-2②，
由①得，解得n＜27.4，
由②得，解得n＜26.4．
即数列{bn}最多有26项．…（13分）