由题意画出图象,利用导数对x分x=0、x<0、x>0三种情况各有一个零点时的k的取值范围求出来,再求交集即可.
【解析】
由题意画出图象:
(1)当x=0时,f(0)=ln1=0,k×0=0,0是函数f(x)-kx的一个零点;
(2)由函数的图象和单调性可以看出,当x>0和x<0时,分别有一个零点.
①.当x<0时,由,化为<0,解得;
②当x>0时,只考虑即可,
令g(x)=ln(x+1)-kx,则,
A.当k≥1时,则g′(x)<0,即g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g(x)<g(0)=0,g(x)无零点,应舍去;
B.当时,,
g′(x)=,令g′(x)=0,解得,列表如下:
由表格可知:当时,g(x)取得极大值,也是最大值,当且仅当时,g(x)才有零点,
==k-lnk-1.
下面证明h(k)=k-lnk-1>0,.
∵=,∴h(k)在上单调递减,∴=h(k)>h(1)=1-ln1-1=0,
因此0在时成立.
综上可知:当且仅当时,函数f(x)-kx有三个零点.