已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式是 ...

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式是 manfen5.com 满分网

（1）求f（x）在[-1，1]上的解析表达式；
（2）求f（x）在[-1，0]上的值域．

（1）由f（0）=0，求得a的值，可得当x∈[-1，0]时，函数解析式是f（x）=-．设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，利用奇函数的定义可得f（x）=2x-4x，综上可得f（x）的解析式．（2）当x∈[0，1]时，设t=2x，则1≤t≤2，f（x）=-4x+2x，利用二次函数的性质求得此时函数的值域为[0，2]．再由奇函数的图象关于原点对称可得，可得当x∈[-1，0]时，函数的值域为[-2，0]．综上可得，函数在[-1，1]上的值域．【解析】（1）由奇函数的定义和性质可得，f（0）=0，即 1-a=0，a=1，故当x∈[-1，0]时，函数解析式是=-．设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，由题意可得 f（-x）=-=4x-2x=-f（x）， ∴f（x）=2x-4x．综上可得，f（x）=．（2）当x∈[0，1]时，设t=2x，则 1≤t≤2，f（x）=-4x+2x=-t2+t=-+，故当t=1时，f（x）取得最大值为 0，当t=2时，函数f（x）取得最小值为-2，故此时函数的值域为[-2，0]．再由奇函数的图象关于原点对称可得，可得当x∈[-1，0]时，函数的值域为[0，2]．综上可得，函数在[-1，1]上的值域为[-2，2]．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等