Question

定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax²
（1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）当a=-1时，函数表达式为f（x）=1+x-x2，可得f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，它的值域为（-∞，1），从而|f（x）|的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．
（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即-3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得--≤a≤-在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（--）max=-，（-）min=-，所以，实数a的取值范围是[-，-]．
【解析】
（1）当a=-1时，函数f（x）=1+x-x2=-（x-）2+
∴f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1
∴f（x）在（-∞，0）上的值域为（-∞，1）
因此|f（x）|的取值范围是[0，+∞）
∴不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．
（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，
则|f（x）|≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f（x）≤3
∴-3≤ax2+x+1≤3
∴≤a≤，即--≤a≤-在[1，4]上恒成立，
∴（--）max≤a≤（-）min，
令t=，则t∈[，1]
设g（t）=-4t2-t=-4（t+）2+，则当t=时，g（t）的最大值为-
再设h（t）=2t2-t=2（t-）2-，则当t=时，h（t）的最小值为-
∴（--）max=-，（-）min=-
所以，实数a的取值范围是[-，-]．