Question

已知函数．
（1）当时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围；
（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；
（3）求证：（n∈N^*）．

Answer

（1）利用函数f（x）的导数求出它的单调区间和极值，由题意知 k大于f（x）的极大值，或 k小于f（x）的极小值．
（2）令h（x）=f（x）-1，由h′（x）＞0得h（x）在（0，+∞）上是增函数，利用h（1）=0，分x＞1、
0＜x＜1、当x=1三种情况进行讨论．
（3）根据（2）的结论，当x＞1时，，令，有，可得 ，由 ，证得结论．
【解析】
（1）当时，，定义域是（0，+∞），
 求得，令f'（x）=0，得，或x=2．
∵当或x＞2时，f'（x）＞0； 当时，f'（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，]、（2，+∞）上单调递增，在上单调递减．
∴f（x）的极大值是 ，极小值是 ．
∵当x趋于 0时，f（x）趋于-∞；当x趋于+∞时，f（x）趋于+∞，
由于当g（x）仅有一个零点时，函数f（x）的图象和直线y=k仅有一个交点，
k的取值范围是{k|k＞3-ln2，或}．
（2）当a=2时，，定义域为（0，+∞）．
令，∵，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．  ①当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，即f（x）＞1；
②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，即f（x）＜1；  ③当x=1时，h（x）=h（1）=0，即f（x）=1．
（3）证明：根据（2）的结论，当x＞1时，，即．
令，则有，∴．
∵，∴．