Question

已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=-f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x³，若函数g（x）=f（x）-log_a|x|至少6个零点，则a取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

函数g（x）=f（x）-loga|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=loga|x|的图象，结合图象可得loga5＜1 或 loga5≥-1，由此求得a的取值范围．
【解析】
函数g（x）=f（x）-loga|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=loga|x|的交点的个数；
由f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x），
故函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由当-1≤x＜1时，f（x）=x3，据此可以做出f（x）的图象，
y=loga|x|是偶函数，当x＞0时，y=logax，则当x＜0时，y=loga（-x），做出y=loga|x|的图象，
结合图象分析可得：要使函数y=f（x）与y=loga|x|至少有6个交点，
则 loga5＜1 或 loga5≥-1，解得 a＞5，或 0＜a≤，
故选A．