Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n对∀n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）证明：数列是等差数列；要证明数列是等差数列，先根据sn-sn-1=an，用作差法得到an，an-1的关系，再用定义证明．
（Ⅱ）若不等式2n2-n-3＜（5-λ）an对∀n∈N*恒成立，求λ的取值范围，用分离参数法，因为an＞0，所以不等式2n2-n-3＜（5-λ）an∴，只要5-λ＞的最大值，即可求出λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，S1=2a1-22得a1=4．Sn=2an-2n+1，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2n，两式相减得an=2an-2an-1-2n即an=2an-1+2n，
所以．
又，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即an=（n+1）•2n．
因为an＞0，所以不等式2n2-n-3＜（5-λ）an等价于
设，则b1=-；b2=；b3=；…
∴.∴．