Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时，高h=（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为1的球，该棱柱的高为h，则球心到正三棱柱底面ABC的距离d=h，进而根据底面半径r，球心距d，球半径R构成直角三角形，满足勾股定理，可得底面半径r，再由等边三角形外接圆半径与边长的关系，可得底面边长a，进而得到底面面积，和棱柱的体积，利用导数法可得该棱柱体积最大时，高h的值．
【解析】
设该棱柱的高为h，
由正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为1的球，
可得球心到正三棱柱底面ABC的距离d=h
则正三棱柱底面ABC的底面半径r==
则正三棱柱底面ABC的底面边长a=r=
则正三棱柱底面ABC的底面面积S==-
则正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=Sh=h-
则V′=-
令V′=0，则h=
故当该棱柱体积最大时，高h=
故选D