由余弦定理求得 cosC,代入已知等式可得 (b+c)2-1=3bc,利用基本不等式求得 b+c≤2,故a+b+c≤3.再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c>2,由此求得△ABC的周长的取值范围.
【解析】
△ABC中,由余弦定理可得 2cosC=,∵a=1,2cosC+c=2b,
∴+c=2b,化简可得 (b+c)2-1=3bc.
∵bc≤,∴(b+c)2-1≤3×,解得 b+c≤2(当且仅当b=c时,取等号).
故a+b+c≤3.
再由任意两边之和大于第三边可得 b+c>a=1,故有 a+b+c>2,故△ABC的周长的取值范围是(2,3],
故答案为 (2,3].