Question

已知锐角△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，定义向量，且．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）如果b=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）由，得=0，即（2sinB，）•（cosB，cos2B）=0，利用正弦倍角公式、和差角公式可求得B值；
（Ⅱ）利用余弦定理可得16=a2+c2-ac，利用基本不等式可得ac的最大值，从而可得△ABC的面积的最大值；
【解析】
（Ⅰ），
因为，所以=0，即（2sinB，）•（cosB，cos2B）=0，
所以2sinBcosB+cos2B=sin2B+cos2B=2sin（2B+60°）=0，
又△ABC为锐角三角形，所以2B+60°=180°，解得B=60°；
（Ⅱ）由余弦定理得，b2=a2+c2-2accos60°，即16=a2+c2-ac，
则16=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时取等号，
所以△ABC的面积，
所以△ABC的面积的最大值是4．