Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，M是BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AMC₁；
（Ⅱ）求直线CC₁与平面AMC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）试问：在棱A₁B₁上是否存在点N，使AN与MC₁成角60°？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明 A1B∥OM可；
（Ⅱ）可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面AMC1的法向量、直线CC1的阐释，向量，代入向量夹角公式，可求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）假设存在满足条件的点N，根据AN与MC1成60°角，利用向量的数量积，可得结论．
证明：（Ⅰ）连接A1C，交AC1于点O，连接OM．
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点．
又∵M为BC中点，
∴OM为△A1BC中位线，
∴A1B∥OM，
∵OM⊂平面AMC1，A1B⊄平面AMC1，
所以 A1B∥平面AMC1．…（4分）
【解析】
（Ⅱ）由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB1两两垂直．可建立如图空间直角坐标系B-xyz．
设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C1（2，0，1），M（1，0，0）．
则=（1，-2，0），=（2，-2，1），
设平面AMC1的法向量为=（x，y，z），则有
，即
所以取y=1，得=（2，1，-2）．
又∵=（0，0，1）
∴直线CC1与平面AMC1所成角θ满足
sinθ==
故直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值为
【解析】
（Ⅲ）假设存在满足条件的点N．
∵N在线段A1B1上，A1（0，2，1），B1（0，0，1），
故可设N（0，λ，1），其中0≤λ≤2．
∴=（0，λ-2，1），=（1，0，1）．
∵AN与MC1成60°角，
∴==．
即，解得λ=1，或λ=3（舍去）．
所以当点N为线段A1B1中点时，AN与MC1成60°角．…（12分）