Question

甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求p的值；
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer

（1）已知各局胜负相互独立，第二局比赛结束时比赛停止，包含甲连胜2局或乙连胜2局，写出甲连胜两局的概率和乙连胜两局的概率求和为．解出关于P的方程．
（2）因为比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止，所以ξ的所有可能取值为2，4，6，而ξ=2已经做出概率，只要求出ξ=4或ξ=6时的概率即可，最后求出期望．
【解析】
（1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，
第二局比赛结束时比赛停止，故，
解得
（2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有，
则随机变量ξ的分布列为：

故．