Question

已知函数（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）当a=3时，求在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer

（1）a=3时代入求出f（x），再求出导数f′（x）和f（1），求出切线斜率为f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；
（2）根据函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，得f′（x）≥0在区间[1，2]上恒成立，然后用分离参数求出a的表达式，再构造函数求出最大值，列出关于a的不等式求解即可．
【解析】
（1）当a=3时，f（x）=x-2x2+lnx，
则f′（x）=1-4x+，且f（1）=-1，
∴f′（1）=-2，
∴在点（1，f（1））处的切线方程是y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0，
（2）由题意得，，
∵函数f（x）在区间[1，2]上为单调递增函数，
∴x∈[1，2]时，0恒成立，
即对x∈[1，2]恒成立，
设h（x）=，因函数h（x）在[1，2]上单调递增，
∴=，解得0＜a，
故a的取值范围是（0，]．