Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC₁=2，点D、E分别是AA₁、CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BC₁D；
（Ⅱ）证明：平面BC₁D⊥平面BCD；
（Ⅲ）求多面体A₁B₁C₁BD的体积V．

Answer

（Ⅰ）先证明AEC1D是平行四边形，可得AE∥DC1，再根据直线和平面平行的判定定理证得 AE∥平面BC1D．
（Ⅱ）先证明BC⊥平面ACC1A1，可得BC⊥C1D．再利用勾股定理证明所以DC1⊥DC，可得C1D⊥平面BCD．而C1D⊂平面BC1D，利用2个平面垂直的判定定理证得
平面BC1D⊥平面BCD．
（Ⅲ）取A1B1中点F，由A1C1=B1C1知C1F⊥A1B1，可得C1F⊥面A1B1BD．再由 V=••C1F，运算求得结果．
（Ⅰ）证明：在矩形ACC1A1中，由C1E∥AD，C1E=AD，可得AEC1D是平行四边形．…（1分）
所以AE∥DC1，…（2分）
又AE不在平面BC1D内，C1D⊂平面BC1D，所以AE∥平面BC1D．…（4分）
（Ⅱ）证明：直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴BC⊥CC1，AC⊥BC．
∵CC1∩AC=C，所以BC⊥平面ACC1A1．…（6分）
而C1D⊂平面ACC1A1，所以BC⊥C1D．…（7分）
在矩形ACC1A1中，DC=DC1=，CC1=2，从而DC2+=，
所以DC1⊥DC．…（8分）
又DC∩BC=C，所以C1D⊥平面BCD，…（9分）
而C1D⊂平面BC1D，所以平面BC1D⊥平面BCD．  …（10分）
（Ⅲ）取A1B1中点F，由A1C1=B1C1知C1F⊥A1B1，…（11分）
又直三棱柱中侧面ABA1B1⊥底面A1B1C1且交线为A1B1，故C1F⊥面A1B1BD，…（12分）
∴V=••C1F=••=．…（14分）