(Ⅰ)求出原函数的导函数,解出导函数的零点,由a<0排除一个,然后由零点对定义域分段,根据不同区间段内导函数的符号判断原函数的单调区间;
(Ⅱ)把a=-1代入函数解析式,然后把要证的不等式作差后构造辅助函数,利用导函数求构造出的函数的最值,由函数最大值等于0证得不等式.
(I)【解析】
由f(x)=ax2+x-3alnx,得(x>0).
令f′(x)=0解得,(舍).
列表如下:
x (0,x1) x1 (x1,+∞)
f′(x) + -
f(x) 增函数 减函数
故f(x)的单调递增区间为(0,)、递减区间为(,+∞)
(II)证明:f(x)的定义域为(0,+∞),a=-1时,f(x)=x-x2+3lnx
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx.
则.
当0<x<1时,g′(x)>0,当x>1时,g′(x)<0.
所以,g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
而g(1)=0,故当x>0时,g(x)≤0.
即f(x)≤2x-2.