Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为-4，f′（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[2，3]时，求g（x）=f′（x）+6（m-2）x的最大值．

Answer

（Ⅰ）导数f′（x）＞0的x的取值范围{x|1＜x＜3}得到1和3分别为函数的极小值和极大值点即f′（1）=0且f′（3）=0，且有f（1）=-4，三者联立即可求出a、b和c的值，得到f（x）的解析式
（II）求出g（x）=f′（x）+6（m-2）x的解析式，利用二次函数的图象和性质，分类讨论后可得当x∈[2，3]时，求g（x）=f′（x）+6（m-2）x的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2+cx
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，a＞0，
又∵f′（x）＞0的解集是{x|1＜x＜3}．
∴1，3分别为f（x）的极小值，极大值点，且a＞0，
∴f′（1）=0，f′（3）=0，f（1）=-4
∴，
解得a=-1，b=6，c=-9，
∴f（x）=-x3+6x2-9x，
（II）g（x）=f′（x）+6（m-2）x
=-3x2+12x-9+6（m-2）x
=-3x2+6mx-9
其图象是开口朝下，且以直线x=m为对称轴的抛物线
当m＞3时，g（x）在区间[2，3]上为增函数，
此时当x=3时，g（x）取最大值18m-36
当2≤m≤3时，g（x）在区间[2，m]上为增函数，在区间[m，3]上为减函数，
此时当x=m时，g（x）取最大值3m2-9
当m＜2时，g（x）在区间[2，3]上为减函数，
此时当x=2时，g（x）取最大值12m-21