Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c图象上的点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1．
（1）若函数f（x）在x=-2时有极值，求f（x）的表达式
（2）若函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，求实数b的取值范围．

Answer

（1）对函数f（x）求导，由题意点P（1，-2）处的切线方程为y=-3x+1，可得f′（1）=-3，再根据f（1）=-1，又由f′（-2）=0联立方程求出a，b，c，从而求出f（x）的表达式．
（2）由题意函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，对其求导可得f′（x）在区间[-2，0]大于或等于0，从而求出b的范围．
【解析】
f′（x）=-3x2+2ax+b，（2分）
因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为-3，
所以f′（1）=-3+2a+b=-3，即2a+b=0，（3分）
又f（1）=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1．（4分）
（1）函数f（x）在x=-2时有极值，所以f'（-2）=-12-4a+b=0，（5分）
解得a=-2，b=4，c=-3，（7分）
所以f（x）=-x3-2x2+4x-3．（8分）
（2）因为函数f（x）在区间[-2，0]上单调递增，所以导函数f′（x）=-3x2-bx+b
在区间[-2，0]上的值恒大于或等于零，（10分）
则得b≥4，所以实数b的取值范围为[4，+∞）（14分）