Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-ka_n（k＞0，n∈N^*）．
（1）用n、k表示a_n；
（2）数列{b_n}对n∈N^*均有（b_n+1-b_n+2）lga₁+（b_n+2-b_n）lga₃+（b_n-b_n+1）lga₅=0，求证：数列{b_n}为等差数列；
（3）在（1）、（2）中，设k=1，b_n=n+1，x_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求证：x_n＜3．

Answer

（1）由前n项的和Sn与an的关系 an+1=Sn+1-Sn，得到数列的递推公式，注意分析k是否为零，再求数列的通项公式．
（2）若（bn+1-bn+2）lga1+（bn+2-bn）lga3+（bn-bn+1）lga5=0，即∴（bn+1-bn+2）lg+（bn+2-bn）lg[（×（）2]+（bn-bn+1）lg[（×（）4]=0，展开整理后可得bn+2+bn=2bn+1，根据等比数列的定义，可得数列{bn}为等差数列；
（3）将k=1代入，利用错位相减法，求出xn=3-（n+3），结合（n+3）＞0，可得xn＜3
【解析】
（1）∵Sn=1-kan，
∴S1=a1=1-ka1，
∴a1=
∴an+1=Sn+1-Sn=（1-kan+1）-（1-kan），
∴an+1=kan-kan+1，即 （k+1）an+1=kan，
∵kk≠1解得an+1=an（1）
∵k＞0，a1≠0，由（1）式易知an≠0，n≥1，
∴=
故该数列是公比为，首项为的等比数列，
∴an=×（）n-1．
证明：（2）∵（bn+1-bn+2）lga1+（bn+2-bn）lga3+（bn-bn+1）lga5=0，
∴（bn+1-bn+2）lg+（bn+2-bn）lg[（×（）2]+（bn-bn+1）lg[（×（）4]=0…①
令lg=m，lg=n，则m，n均不为0
则①式可化为m（bn+1-bn+2）+（m+2n）（bn+2-bn）+（m+4n）（bn-bn+1）=0
即bn+2+bn=2bn+1，
即数列{bn}为等差数列；
（3）若k=1，an=×（）n-1=（）n，
又∵bn=n+1，
∴xn=×2+×3+×4+…+（n+1）…①，
∴xn=×2+×3+…+n+（n+1）…②
①-②得xn=1+[++…+]-（n+1）=-
∴xn=3-（n+3）
∵（n+3）＞0
∴xn＜3