(I)求导函数f'(x)=3x2-3a,利用函数f(x)=x3-3ax+b在x=1处有极小值2,可得,从而可求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ),再进行分类讨论:当m=0时,g(x)=-2x+3,g(x)在[0,2]上有一个零点;当m≠0时,①若方程g(x)=0在[0,2]上有2个相等实根,即函数g(x)在[0,2]上有一个零点;②若g(x)有2个零点,1个在[0,2]内,另1个在[0,2]外,从而可求m的取值范围.
【解析】
(I)f'(x)=3x2-3a…(1分)
依题意有,…(3分)
解得,…(4分)
此时f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
x∈(-1,1),f'(x)<0,x∈(1,+∞),f'(x)>0,满足f(x)在x=1处取极小值
∴f(x)=x3-3x+4…(5分)
(Ⅱ)f'(x)=3x2-3
∴…(6分)
当m=0时,g(x)=-2x+3,
∴g(x)在[0,2]上有一个零点(符合),…(8分)
当m≠0时,
①若方程g(x)=0在[0,2]上有2个相等实根,即函数g(x)在[0,2]上有一个零点.
则,得…(10分)
②若g(x)有2个零点,1个在[0,2]内,另1个在[0,2]外,
则g(0)g(2)≤0,即(-m+3)(3m-1)≤0,解得,或m≥3…(12分)
经检验m=3有2个零点,不满足题意.
综上:m的取值范围是,或,或m>3…(14分)