Question

已知f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常数，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（I）把a=1代入原函数，求出其导函数，即可求f（x）的单调性、极值；
（II）先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论．
【解析】
（I）当a=1时，f（x）=x-lnx，
则 （1分）
且x∈（0，e]得x∈[1，e）单调递增；（3分）
且x∈（0，e]得x∈（0，1）单调递减；（5分）
当x=1时取到极小值1；（6分）
（II） （7分）
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；（9分）
②当a＞0时，f′（x）=0的根为
当 时，，解得a=e2（12分）
③当 时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；（14分）
综上所述a=e2（15分）