Question

设函数，
（Ⅰ）求函数f（x）的极大值；
（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x），若x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤g（x）≤a成立，试确定实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）对函数求导，结合f′（x）＞0，f′（x）＜0，f′（x）=0可求解
（Ⅱ）由题意可得-a≤-x2+4ax-3a2≤a在[1-a，1+a]恒成立，结合二次函数的对称轴x=2a与区间[1-a，1+a]与的位置分类讨论进行求解．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）g（x）=f′（x）=-x2+4ax-3a2=-（x-2a）2+a2，（7分）
g（x）=x2+4ax-3a2=-（x-3a）（x-a）
①当时，1-a＞2a，∴g（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减
∴，且[g（x）]min=g（1+a）=2a-1
∵恒有-a≤g（x）≤a成立
∵又，此时，a∈∅…（10分）
②当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即，[g（x）]max=g（2a）=a2．
∵-a≤g（x）≤a，∴，即
∴
∴．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为．（14分）