Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，BC=2，AC=，AA₁=3，M为线段BB₁上的一动点，则当AM+MC₁最小时，△AMC₁的面积为    ．

Answer

先将直三棱柱ABC-A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，由此可以求得△AMC1的三边长，再由余弦定理求出其中一角，由面积公式求出面积
【解析】
将直三棱柱ABC-A1B1C1沿棱BB1展开成平面连接AC1，与BB1的交点即为满足AM+MC1最小时的点M，
由于AB=1，BC=2，AA1=3，再结合棱柱的性质，可得BM=AA1=1，故B1M=2
由图形及棱柱的性质，可得AM=，AC1=，MC1=2
cos∠AMC1==-
故sin∠AMC1=
△AMC1的面积为×××=
故答案为